Το άπειρο και οι παραδοξότητες!..

Τι αναφέρουν οι ειδικοί για το άπειρο και τις παραδοξότητές του. Μία έρευνα για τις διάφορες μορφές του απείρου η οποία οδήγησε σε πολλά παράδοξα και αντινομίες. Χαρακτηριστικό παράδειγμα αυτό που είναι γνωστό από την αρχαιότητα: το παράδοξο του Ζήνωνα με τον Αχιλλέα και τη χελώνα!..

Η ΛΕΞΗ «άπειρο» στη μαθηματική ορολογία είναι το μη «πεπερασμένο». Διακρίνουμε το «δυναμικό» άπειρο και το «εν ενεργεία» άπειρο. Κατά το πρώτο έχουμε πεπερασμένη μεταβλητή ποσότητα η οποία, όταν μεταβάλλεται, είναι δυνατό να ξεπεράσει κάθε όριο, ενώ κατά το δεύτερο θεωρούμε ότι υπάρχει αυτή τη στιγμή κάτι που έχει ήδη ξεπεράσει κάθε όριο. Στην ακολουθία των φυσικών αριθμών 1, 2, 3, ..., ν, ... ο γενικός όρος ν είναι μια μεταβλητή ποσότητα πάντοτε πεπερασμένη, αλλά

τέτοια ώστε να μπορεί να ξεπεράσει οποιονδήποτε δοσμένο και ορισμένο θετικό αριθμό. Το πλήθος των όρων του συνόλου των φυσικών αριθμών, το οποίο είναι ένα ενιαίο όλο, μπορεί να χρησιμεύει ως παράδειγμα του «εν ενεργεία» απείρου. Κατά τον Αριστοτέλη το άπειρο υπάρχει μόνο «δυνάμει» και όχι «ενεργεία». Η έρευνα για τις διάφορες μορφές του απείρου οδήγησε σε πολλά παράδοξα και αντινομίες (είναι γνωστό από την αρχαιότητα το παράδοξο του Ζήνωνα με τον Αχιλλέα και τη χελώνα). Από την εποχή όμως του Γερμανού Γκ. Κάντορ (1845-1918) με την είσοδο των συνόλων ξεκαθάρισε η έννοια του απείρου. Κρίνουμε σκόπιμο να επισημάνουμε ότι τα σύμβολα +∞ (συν άπειρο) και –∞ (πλην άπειρο), με τα οποία δίνουμε συμβολική παράσταση της έννοιας του απείρου, δεν είναι αριθμοί και η χρήση τους πρέπει να γίνεται με μεγάλη προσοχή. Δεν πρέπει να παρασυρόμαστε από το ότι πολλές ιδιότητες των πράξεων ισχύουν και για τα σύμβολα αυτά.

Επίσης, πρέπει να γνωρίζουμε ότι η έννοια του απείρου συνδέεται άμεσα με την έννοια του ορίου. Έστω μια πραγματική συνάρτηση f(x) πραγματικής μεταβλητής. Λέμε ότι η οριακή τιμή της f(x) για x → ξ είναι το + ∞ (και το συμβολίζουμε με ), αν για κάθε ε > 0 οσοδήποτε μικρό υπάρχει κατάλληλος πραγματικός αριθμός δ > 0, ο οποίος εξαρτάται εν γένει από τον ε και τέτοιος ώστε για κάθε x που ανήκει στο πεδίο ορισμού της f και ικανοποιεί την  <δ, να ισχύει f(x) > .

Αυτός ο τρόπος ορισμού του απείρου μας επιτρέπει και τη σύγκριση μεταξύ των απείρων. Λέμε ότι οι πραγματικές συναρτήσεις f(x) και φ(x) παρουσιάζουν στο ξ την ίδια τάξη απειρισμού, όταν ισχύει:
και  λ, όπου λ μη μηδενικός πραγματικός αριθμός. Αν το λ είναι μηδέν, λέμε ότι η τάξη απειρισμού της φ(x) είναι μεγαλύτερη από την τάξη απειρισμού της f(x). Αν όμως  , θα λέμε ότι η τάξη απειρισμού της f(x) είναι μεγαλύτερη από την τάξη απειρισμού της φ(x).
Συνήθως ως φ(x) παίρνουμε τη διαφορά x – ξ, οπότε με κατάλληλη ύψωση της φ(x) σε δύναμη βρίσκουμε την τάξη απειρισμού της f(χ).
Τα παραπάνω αφορούν την έννοια του «δυνάμει» απείρου. Για την έννοια του «εν ενεργεία» απείρου, σήμερα χρησιμοποιούμε την αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία μεταξύ των στοιχείων δύο συνόλων. Λέμε ότι δύο σύνολα έχουν τον ίδιο πληθικό αριθμό, όταν για τα στοιχεία τους υπάρχει μία αμφιμονοσήμαντη και επί αντιστοιχία, π.χ. το σύνολο των άρτιων φυσικών απεικονίζεται αμφιμονοσήμαντα επί του συνόλου των φυσικών. Έτσι, βλέπουμε ότι ένα γνήσιο υποσύνολο ενός συνόλου έχει τον ίδιο πληθικό αριθμό με αυτό. Είναι φανερό λοιπόν ότι για τα απειροσύνολα δεν ισχύει η αρχή του Αριστοτέλη, κατά την οποία «το όλο είναι μεγαλύτερο από το μέρος», αρκεί βέβαια να ληφθεί ως μεγαλύτερο το περιεκτικότερο σε στοιχεία σύνολο.